اثر متقابل عوامل در آناليز واريانس

17 آبان 1400

دقیقه

در فصل سیزدهم مقاله آموزشی آمار به زبان ساده به آنالیز واریانس یک عاملی با اندازه گیری های مکرر پرداختیم. در این فصل به آموزش اثر متقابل عوامل در آناليز واريانس در ادامه سری مقالات آموزشی آمار به زبان ساده می پردازیم. فهرست محتوا پنهان 1. اثرات متقابل 2. تقسیم کردن مجموع مربعات بین سطوح 3....

اثر متقابل عوامل در آناليز واريانس

در فصل سیزدهم مقاله آموزشی آمار به زبان ساده به آنالیز واریانس یک عاملی با اندازه گیری های مکرر پرداختیم. در این فصل به آموزش اثر متقابل عوامل در آناليز واريانس در ادامه سری مقالات آموزشی آمار به زبان ساده می پردازیم.

 

اغلب محققين معمولاً علاقه مند به بررسي اثرات بيش از يك متغير مستقل هستند تا اينكه بخواهند آنها را به صورت جداگانه مورد مطالعه قرار دهند، به عنوان مثال اثرات متغيرهاي سن و جنس بر روي عملكرد رانندگي در بزرگراه. خوشبختانه آناليز واريانس اين قابليت را دارد كه بيش از يك متغير مستقل را به كار گيرد. در واقع يك آناليز واريانس مي تواند هر تعدادي از متغيرهاي مستقل را مورد بررسي قرار داد و تنها مسئله تحليل نتايج پيچيده آن است. به هر حال همانطور كه مشاهده مي شود آناليز واريانس دو عاملي مزيت هاي قابل توجهي را در مطالعه دو متغير مستقل به صورت جداگانه به همراه دارد، خصوصاً به عنوان يك طرح دو عاملي به ما اجازه ي آزمون اثرات متقابل دو متغير مستقل را در نمرات مي دهد. در اين فصل به اهميت اثرات متقابل در آناليز داده ها پي خواهيم برد. اين امر توسط مثال هايي كه در ادامه خواهند آمد توضيح داده خواهد شد.

گزارشی به كميته ي آموزش و پرورش ارجاع داده شده بود كه مدرسه اي در شهر ( مدرسه اي قديمي) به دليل دلسرد كردن دختران از مطالعه علوم معروف شده است و به محققي مأموريت بررسي اين مسئله داده شد. همچنين محقق مدرسه اي ديگر (مدرسه اي جديد) كه از نظر تعداد موضوعات مورد بررسي بر روي شاگردان (و نيز تعدادي از ساير عامل هاي مفيد مانند اندازه، استانداردها، سن تدريس، نسبت پسران به دختران و غيره جهت كنترل عوامل اختلاط گر) مطابقت داشت انتخاب شد. ماكسيمم سن براي دانش آموزان مورد مطالعه در اين شهر پانزده سال در نظر گرفته شد و البته اين سن زماني است كه وسيع ترين طيف موضوعات جهت بررسي وجود دارد. محقق به صورت تصادفي تعداد 20 تا از پسران و نيز 20 تا از دختران پانزده ساله از هر مدرسه انتخاب كرده تا چگونگي ارتباط مهارت هاي علمی كه انتخاب شده بودند را دريابد. در اين آزمايش دو متغير مستقل وجود دارد، مدرسه و جنسيت، و متغير وابسته ي اندازه گيري شده تعداد مهارت هاي علمی منتخب در نظر گرفته شد.

در اين تحقيق محقق علاقه مند به بررسي اثرات متغيرهاي مستقل به صورت جداگانه نبوده و به تركيبي از دو متغير پرداخته مي شود، به عنوان مثال آيا با در نظر داشتن تعداد موضوعات علمی انتخابي اختلاف معني داري ميان دختران و پسران در مدرسه ي قديمي نسبت به مدرسه ي جديد وجود دارد؟ آناليز واريانس با دو عامل راهي براي پاسخ دادن به اين سوال است.

آناليز واريانس دو عاملي سه نسبت واريانس به جاي يك نسبت ايجاد مي كند. دو نسبت اول مربوط به بخش اثرات اصلي دو عامل است، بدين معني كه هر عامل را هم به صورت جداگانه در نظر گرفته و هم اثر آن روی متغیر وابسته بررسی کرده است.اثر اصلی “مدرسه” بیانگر این است که آیا اختلاف معنی داری میان تعداد موضوعات علمی منتخب در مدرسه قدیمی در مقایسه با مدرسه جدید وجود دارد (که در واقع ترکیبی از نمرات پسران و دختران در هر مدرسه است). در این حال  همانطور که علاقمندیم بیان می کند که کدام مدرسه علم گراتر است ولی اطلاعی از تفاوت های میان پسران و دختران نمی دهد. اثر اصلی جنسیت بیان می کند که آیا تفاوت معنی داری میان پسران و دختران با در نظر گرفتن تعداد موضوعات انتخابی وجود دارد. که در این حال پسران از هر دو مدرسه و نیز دختران دو مدرسه با هم ترکیب می شوند. که مانند حالت قبل اطلاعاتی از تفاوت در موضوعات علمی انتخابی بر اساس جنسیت می دهد اما از چگونگی تفاوت میان دو مدرسه اطلاعی نمی دهد.

بررسی وجود اثر متقابل میان عوامل از سایر موارد دیگری است که یک آنالیز واریانس دو عاملی می دهد. اثر  متقابل معنی دار زمانی رخ  می دهد که اثر یک عامل در سطوح مختلف عامل دیگر متفاوت باشد. بنابراین اثر مدرسه بر روی انتخاب موضوعات علمی در پسران متفاوت از همین اثر در دختران می باشد. اگر مدرسه اثری روی پسران نداشته باشد، در هر مدرسه ای که تحصیل می کردند تفاوتی بین تعداد موضوعات علمی منتخب وجود نداشت. اما اگر اثر مدرسه روی دختران معنی دار باشد، دختران مدرسه ی قدیمی مهارت های علمی کمتری نسبت به دختران مدرسه ی جدید دارند؛ بنابراین اثر متقابل در فرض آزمایشی مورد بررسی ایجاد می شود. در این حال اثر مدرسه در سطوح جنسیت متفاوت است. رسم نمودار میانگین برای سطوح مختلف بهترین شیوه جهت آگاهی از وجود اثر متقابل است همچنانکه در نمودار 14.1 نشان داده شده است، که آنچه را که در ارتباط با اثر متقابل ذکر شد به تصویر کشیده است.

باید توجه داشت چنانچه اثر متقابل بدست آمده که در نمودار 14.1 نشان داده شده است معنی دار باشد به طور یقین می توان گفت که دلیل آن متفاوت بودن مهارت های علمی مدرسه قدیمی در مقایسه با مدرسه جدید است و به دنبال آن اثر اصلی مدرسه معنی دار می شود، همچنین اگرچه پسران مهارت های  علمی بیشتری نسبت به دختران داشته باشند ولی چون اثرات اصلی فقط تشکیل دهنده ی بخشی از اثر متقابل هستند، خود به تنهایی تعیین کننده ی نتایج مهم نخواهند بود. اثر متقابل بدست آمده به روشنی بیان می دارد که در مدرسه ی قدیمی دختران مهارت های علمی کمتری نسبت به پسران دارند در حالیکه در مدرسه ی جدید چنین تفاوتی وجود ندارد.

در صورتي كه تفاوت پسران و دختران (دختر-پسر، پسر منهاي دختر) در مدرسه ي قديمي نسبت به مدرسه ي جديد بيشتر باشد، حتي اگر پسران نسبت به دختران در مدرسه ي جديد مهارت هاي علمي بيشتري كسب مي كردند، نتيجه فرض آزمايشي همچنان پابرجاست.

در اینجا نیز اثر متقابل نشاندهنده ی تفاوت معنی دار میان دو مدرسه در اثر جنسیت با در نظر گرفتن مهارت علمی انتخابی است.

اثر متقابل عوامل در آناليز واريانس

نمودار 14.1. اثر متقابل مدرسه و جنسیت

اثرات متقابل

زماني كه اثر يك عامل در عاملي ديگر جمع پذير[1] باشد نتايج  حصولي دربردارنده ي اثر متقابل نخواهند بود. به داده هاي مثال مطالعه مدرسه در نمودار 14.2(الف) توجه كنيد. در اينجا اثر جنسيت معني دار شده است (مشاهده مي كنيم كه دختران مهارت هاي علمي بيشتري نسبت به پسران كسب كرده اند) در حاليكه اثر اصلي مدرسه معني دار نشده است ( مهارت هاي علمي كسب شده در هر دو مدرسه يكسان است). بدين معني كه هر كدام از مدرسه ها را كه انتخاب كنيم اثر جنسيت مشابه است و ميزان مهارت هاي علمي با تغيير از پسر به دختر  ميانگين يكساني دارد. اثر اصلي مدرسه در مثال داده هاي نمودار 14.2(ب) وجود دارد و مهارت هاي علمي كسب شده در مدرسه ي جديد بيشتر است و به همين ترتيب در مورد اثر اصلي جنسيت، بدين معني كه پسران مهارت هاي علمي بيشتري نسبت به دختران كسب مي كنند. اما با وجود اين اثرات اصلي از نمودار 14.2(ب) دريافت مي شود كه اثر متقابلي وجود ندارد. تفاضل ميانگين نمرات پسران با دختران در هر دو مدرسه به ميزان 0.5 تغيير مي كند. به طور مشابه صرف نظر از اينكه در هر دو مدرسه نمرات پسران را در نظر بگيريم يا نمرات دختران را، تفاضل ميانگين نمرات مدرسه قديمي و جديد در يك مجموعه ي برابر يا يك تغيير مي كند. با توجه به نمودار ميانگين هاي دو عامل آزمايشي مي توان گفت زماني كه خطوط در نمودار موازي باشند، اثرمتقابلي وجود ندارد و چنانچه نمايش داده مي شود اثرات عوامل جمع پذير هستند. مثال هاي نمودار هاي 14.2(ج)  و 14.2(د) چون خطوط موازي نيستند به طور واضح نمي توان گفت كه جمع پذير هستند.

آمار

14.2(الف). داده هاي بدون اثر متقابل

14.2(ب). داده هاي بدون اثر متقابل

 در اين موارد اثر متقابل وجود دارد و مي توان گفت كه اثر آن در دو آناليز واريانس دو عاملي معني دار است. نمودار 14.2(ج) شامل اثر اصلي نمي باشد اما اثر متقابل نشان مي دهد كه اثر اصلي جنسيت از يك مدرسه به مدرسه ي ديگر به صورت معكوس تغيير مي كند. در مدرسه ي قديمي پسران مهارت هاي علمي بيشتري نسبت به دختران كسب مي كنند درحاليكه در مدرسه ي جديد اين دختران هستند كه مهارت هاي علمي بيشتري نسبت به پسران كسب مي كنند. در نمودار 14.2(د) علاوه بر آنكه اثر متقابل وجود دارد فاصله ي نسبتاً زيادي بين تفاضل پسران و دختران (پسر منهاي دختر) در مدرسه ي قديمي نسبت به مدرسه ي جديد وجود دارد. همچنين چون در حالت كلي پسران مهارت هاي علمي بيشتري دارند اثر اصلي جنسيت معني دار است، اما اثر اصلي مدرسه در اين مثال معني دار نيست.

14.2(ج). مثالي از اثر متقابل

14.2(د). مثال ديگري از اثر متقابل

مثال های بالا مثال های جامع و کاملی نیستند اما صرف نظر از تعداد بسیار زیاد سطوحی که می توان داشت قوانین اساسی بدین صورت حکم می کنند: خطوط موازی نمایانگر جمع پذیری عوامل هستند که در آن صورت اثر متقابلی وجود ندارد. زمانی که خطوط موازی نباشند اثر متقابل وجود داشته که نشاندهنده ی (در صورتیکه معنی دار باشد) اثر متفاوت یکی از عوامل در سطوح متفاوت عامل دیگر است.

تقسیم کردن مجموع مربعات بین سطوح

در آنالیز واریانس یک عاملی ديده ايم كه تغيير پذيري فقط بين سطوح وجود دارد و دربردارنده تغييرات سيستماتيك بين سطوح است. تنها جمله ي خطا در اين زمان ايجاد مي شود و زماني كه اندازه گيري هاي تكرار شده را در مقابل مقادير اندازه گيري شده مستقل به كار مي بريم، تغيير مي كند. مشابه آن را براي آناليز واريانس دو عاملي داريم. اما در مورد آناليز واريانس دو عاملي تغييرات دوره اي از سه منبع  حاصل مي شوند: اثر عامل اول (آن را عامل A  مي ناميم، مانند مدرسه)، اثر دومين عامل (عامل B ناميده مي شود، مانند جنسيت) و اثر متقابل دو عامل ( عامل A×B ناميده مي شود).

همچنانكه قادريم مجموع كل مربعات را به دو بخش تقسيم بندي كنيم: مجموع مربعات بين گروهي و مجموع مربعات درون گروهي، قادر خواهيم بود مجموع مربعات بين گروهي را به مجموع مربعات ناشي از عامل A، عامل B و عامل A×B تقيسم كنيم. به ياد بياوريد كه مجموع مربعات از رابطه ي زير محاسبه مي شد:

كه از مجموع كل براي محاسبه تغييرات نمرات بين سطوح استفاده مي كند. اگر از اين فرمول در طرح دو عاملي استفاده مي كرديم، تفاوت بين سطوح معني دار مي شد اما خود عامل هاي سازنده اين تغييرات معني دار نبودند. در مثال ما، با وجود 20 آزمودني (n=20)، چهار سطح داريم: مدرسه ي قديمي و پسران، مدرسه ي قديمي و دختران، مدرسه ي جديد و پسران، مدرسه ي جديد و دختران. فرض كنيد در حال حاضر فقط علاقه مند به عامل A (مدرسه) هستيم. بنابراين سطوحش را با عامل B براي توليد سطوح A به تنهايي تركيب مي كنيم: براي به دست آوردن عامل اصلي A، مدرسه ي قديمي ( A1) و مدرسه ي جديد ( A2)، سطح پسران و مدرسه ي قديمي را با دختران و مدرسه ي قديمي و همچنين پسران و مدرسه ي جديد را با دختران و مدرسه ي جديد تركيب مي كنيم. مجموع مربعات عامل A را نيز به صورت زير مي توان محاسبه كرد:

اين فرمول از مجموع كل سطوح عامل A (در مورد اين مثال  و ) و bn، تعداد كل نمرات در هر كدام از سطوح عامل A، و b تعداد سطوح عامل B ( در مورد اين مثال دو تا وجود دارد: پسران و دختران). حاصل تركيب 20 مورد پسران و مدرسه ي قديمي و 20 مورد دختران و مدرسه ي قديمي 40 (bn) آزمودني در مدرسه ي قديمي است. ميانگين مربعات نيز با استفاده از درجه آزادي عامل A (a-1، كه تعداد سطوح عامل A است و در اين مثال برابر با 2 است).

به طور مشابه براي عامل B نيز با تركيب سطوح B  درون سطوح عامل A مي توان روند مشابهي را انجام داد. براي توليد سطح B1 ، پسران، حالت پسران و مدرسه ي قديمي را با پسران و مدرسه جديد تركيب مي كنيم و نيز جهت توليد B2 ، دختران، حالت دختران و مدرسه ي قديمي را با دختران و مدرسه ي جديد تركيب مي كنيم. و در نهايت فرمول محاسبه مجموع مربعات عامل B به صورت زير نتيجه مي شود:

چنانچه فرمول بالا را بر درجه آزادي (b-1) تقسيم كنيم مجموع مربعات عامل B حاصل مي شود.

اكنون مي توان اثر متقابل مجموع مربعات را محاسبه كرد. از آنجايي كه علاقه مند به تغييرات كلي سطوح عامل A و عامل B تحت عنوان سطوح AB هستيم، كليه ي سطوح را با هم تركيب مي كنيم. در مورد مثالي كه ذكر شد حالت هاي پسران و مدرسه ي قديمي (A1B1)، دختران و مدرسه ي قديمي ( A1B2)، پسران و مدرسه ي جديد  (A2B1)  ،دختران و مدرسه ي جديد  (A2B2). در ادامه مجموع مربعات به صورت زير به دست مي آيد:

توجه داشته باشيد كه آنچه كه در بالا آمده است همان فرمول مجموع مربعات بين گروهي است. تنها تفاوت در برچسب گذاري است:  مربوط به كل سطوح است كه به جاي آن مي توان T يا  نيز به كار برد. سطح اول A1B1 است، سطح دوم A1B2، سطح سوم A2B1و سطح چهارم  A2B2 نام دارند و كليه ي تغيير پذيري نمرات ناشي از عوامل A، B و عامل اثر متقابل A×B را در بر مي گيرند. اكنون مي توان مجموع مربعات عامل A و B را از آن كم كرد و آنچه باقي مي ماند اثر متقابل خواهد بود.

با تقسيم كردن بر درجه آزادي اثر متقابل، (a-1)(b-1) ميانگين مربعات اثر متقابل نتيجه خواهد شد.

اكنون جهت محاسبه آماره ي F براي سه عامل نياز است واريانس هاي خطا را براي مقايسه با ميانگين مربعات پيدا كنيم. انتخاب ميانگين مربعات خطا وابسته به اين است كه بدانيم آيا عوامل مستقل هستند يا مقادير اندازه گيري شده ي تكرار شده مي باشند كه در فصل آينده در زمينه چگونگي انجام آن شرح خواهيم داد.

اثرات ساده ي اصلی

چنانچه در يك مجموعه از داده ها اثر متقابل معني دار شود بدين معني است كه يكي از عوامل اثري متفاوت در سطوح فاكتوري ديگر دارد. در مورد مدرسه ي مثال ما اثر متقابل به معني متفاوت بودن اثر مدرسه در پسران نسبت به همين اثر در دختران است. چنانچه علاقه مند باشيم مي توان از مسيرهاي ديگر نيز به همين نتيجه رسيد: اثر جنسيت در مدرسه ي قديمي در مقايسه با مدرسه ي جديد متفاوت است. با توجه به اينكه به نوع علاقه مندي ما راههاي متفاوتي جهت بررسي اثر متقابل وجود دارد. در حال حاضر از طريق اثر جنسيت به اين مهم مي پردازيم و مي خواهيم بررسي كنيم كه آّيا تفاوتي ميان پسران و دختران در مدرسه ي قديمي وجود دارد و چگونگي مقايسه ي آن با تفاوت پسران و دختران در مدرسه ي جديد را بررسي كنيم.

به دنبال شناسايي اثر متقابل مي توان اثرات ساده ي اصلي يك عامل را در سطوح عامل دوم مورد توجه قرار داد. محاسبه اثرات ساده ي اصلي مشابه انجام آناليز واريانس يك عامل در هر كدام از سطوح عامل دوم است. در مورد مثال ذكر شده مي توان اثرات ساده اصلي جنسيت روي مدرسه ي قديمي و اثرات ساده اصلي جنسيت بر روي مدرسه ي جديد را بدست آورد. هنگامي كه اثرات ساده اصلي جنسيت روي مدرسه قديمي مورد نظر است، نتايج مدرسه ي جديد را به طور كامل ناديده گرفته و روي مجموع مربعات ميان سطح پسران و مدرسه ي قديمي و سطح دختران و مدرسه ي قديمي متمركز مي شويم. پس از آن مي توان ميانگين مربعات و مقدار آماره ي F را جهت مقايسه اثر ساده اصلي با جدول مناسب با آماره به كار برد. همين كار را نيز براي اثر ساده اصلي جنسيت روي مدرسه ي جديد بدون توجه به نتايج مدرسه ي قديمي مي توان انجام داد. اگر اثر متقابل به صورت آنچه كه در نمودار 14.1 نمايش داده شد باشد، انتظار مي رود كه اثر جنسيت در مدرسه ي قديمي معني دار باشد (چون دختران مهارت هاي عملي كمتري دارند) اما اين اثر در مدرسه ي جديد معني دار نيست (زيرا مهارت هاي علمي كسب شده توسط دختران و پسران متفاوت نيست). اثرات ساده اصلي فرض آزمايشي را قوياً حمايت مي كنند.

اثرات ساده اصلي جنسيت در مدرسه ي قديمي با مورد نظر قرارد دادن سطوح  پسران و مدرسه ي قديمي (A1B1 ) و دختران و مدرسه ي قديمي ( A1B2) قابل دستيابي است. بايد توجه داشت كه تغييراتي در عامل B (جنسيت) ميان دو سطح آن وجود دارد اما اين تغييرات مربوط به عامل اصلي A نيست، بنابراين آنچه باقي مي ماند سطح  است و در نتيجه اثر تحت عنوان اثر ساده اصلي عامل B در سطح  ناميده مي شود. مجموع مربعات اين اثر ساده اصلي از طريق فرمول زير محاسبه مي شود:

نتيجه گيري

آناليز واريانس دو عاملي به ما اجازه ي آزمون كردن اثرات متقابل دو عامل را مي دهد. اثرات اصلي هر عامل و اثر متقابل راهكاري جهت جداسازي مجموع مربعات بين سطوح به عناصر مجزا است. چنانچه بخواهيم به طور كاملتري به بررسي معني دار بودن اثر متقابل بپردازيم مي توانيم اثرات ساده اصلي يك عامل را در سطوح متفاوت عامل ديگر كه در يك زمان به دست آمده اند، بررسي كنيم. با اين روش مي توان به منبع اثر متقابل دست يافت.

 

 

[1] Additive

 

مترجمین: دکتر هدی کامرانی فر – حسن اسکندری نیا

اشتراک گذاری در شبکه های اجتماعی
@

لطفا شکبیا باشید...