بکار گیری ابزار Solver برای مشخص‌کردن ترکیب بهینه محصولات

آخرین به‌روزرسانی: 27 دی 1401

در سری مقاله های آموزش اکسل، در فصل گذشته به مقدمه‌ای بر بهینه‌سازی با افزونه Solver اکسل پرداختیم، در این مقاله بکار گیری ابزار Solver برای مشخص‌کردن ترکیب بهینه محصولات را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

سؤال‌هایی که در این فصل پاسخ داده می‌شوند:

• چگونه می‌توان ترکیبی از محصولات ماهیانه که باعث افزایش سود می‌شود را تعیین کرد؟
• آیا مدل Solver همیشه راه‌حلی ارائه می‌دهد؟
• اگر مدل Solver پیام Set Values Do Not Converge (مجموعه مقادیر همگرا نمی‌شوند) را بدهد چه معنایی دارد؟

تعیین ترکیبی از محصولات ماهیانه سود ده

شرکت‌ها همواره نیازمندند که ماهانه مقادیر تولیدی هریک از محصولات خود را تعیین کند. مسئله ترکیب محصولات در ساده‌ترین شکل ممکن در مورد نحوه تعیین مقدار هریک از محصولاتی است که می‌بایست در طول یک ماه تولید شوند تا سود را به حداکثر برسانند. ترکیب محصولات معمولاً پایبند محدودیت‌های زیر است:

• ترکیب محصولات نمی‌بایست بیشتر از منابع موجود بهره ببرد.
• برای هر محصولی تقاضایی محدود وجود دارد. لزومی ندارد که در طی یک ماه تولید بیشتر از تقاضای موجود داشته باشیم، چرا که تولیدات اضافه دچار استهلاک شده و از بین می‌روند (مثلاً در مورد داروهای فاسدشدنی)

اکنون به حل مسئله بعدی ترکیب محصولات می‌پردازیم. می‌توانید راه‌حل عملی این مسئله را در کاربرگ Feasible Solution در فایل Prodmix.xlsx که در تصویر 10-30 نشان‌داده‌شده پیدا کنید. مقادیر آزمایشی برای مقدار تولیدی هریک از داروها در ردیف 2 وارد شده‌اند.

تصویر 1-30 راه‌حلی عملی برای ترکیب محصولات

بیایید فرض کنیم برای شرکت دارویی کار می‌کنیم که در کارخانه شش محصول دارویی متفاوت تولید می‌کند. برای تولید هر محصول مواد خام و نیروی کار مجزایی نیازمند است. ردیف چهار در تصویر 1-30 ساعت‌های کاری که کارگران برای تولید یک پوند از هر محصول صرف می‌کنند و ردیف 5 مقدار مواد خامی که برای تولید یک پوند از هر محصول نیاز است را نشان می‌دهند. مثلاً تولید یک پوند از محصول شماره 1 نیازمند شش ساعت کار و3.2 پوند از مواد خام است. قیمت هر پوند از دارو در ردیف شش، هزینه تولید هر پوند از محصولات در ردیف 7 و سود کسب شده از هر پوند در ردیف 9 نشان‌داده‌شده‌اند. مثلاً محصول شماره 2 به قیمت 11.00 دلار بر هر پوند فروخته می‌شود، هزینه تولید هر واحد از آن 5.70 دلار بر هر پوند است و هر پوند از آن 5.30 دلار سود عاید می‌کند. تقاضای ماهیانه هر دارو در ردیف هشتم نشان‌داده‌شده. مثلاً تقاضای محصول 3 برابر با 1041 پوند است. برای این ماه 4500 ساعت کاری و 1600 پوند مواد خام موجود است. این شرکت چگونه می‌تواند سود ماهیانه‌اش را افزایش دهد؟

اگر چیزی درباره افزونه Solver اکسل ندانید، ممکن است این مسئله را با ایجاد کاربرگی برای دنبال‌کردن میزان سود و استفاده از منابع مرتبط با ترکیب کالای موردنظر حل کنید. سپس می‌توانید از سیستم سعی و خطا استفاده کنید و ترکیب محصولات را به‌گونه‌ای تغییر دهید تا میزان سود را بدون استفاده از کارگر و یا مواد خام بیشتر از حد موجود و بدون تولید داروی فراتر از حد تقاضا بهینه کنید. در این فرایند از ابزار Solver تنها در مرحله آزمایش‌وخطا استفاده می‌کنید. ابزار Solver موتور بهینه‌سازی است که بی‌هیچ عیب و نقصی جریان جستجوی آزمایش‌وخطا را انجام می‌دهد.

راه‌حل کلیدی جهت مسئله ترکیب محصولات آن است که میزان استفاده از منابع و سود مرتبط با هریک از ترکیب‌های محصولات را به شیوه‌ای کارآمد محاسبه کنیم. ابزار مهمی که می‌تواند برای انجام این محاسبه یاریگر شما باشد تابع SUMPRODUCT است. تابع SUMPRODUCT مقادیر متناظر در محدوده‌های سلولی را درهم ضرب کرده و مجموع آن مقادیر را به ما ارائه می‌دهد. هر محدوده سلولی استفاده شده در ارزشیابی‌های تابع SUMPRODUCT می‌بایست دارای ابعاد یکسانی باشند که این بدان معناست که می‌توان از تابع SUMPRODUCT در دو ردیف یا دو ستون استفاده کرد اما نمی‌توان آن را با یک ستون و یک ردیف بکار برد.

یکی از مثال‌ها در باره نحوه استفاده از تابع SUMPRODUCT در مورد ترکیب محصولات است، بیایید سعی کنیم میزان استفاده از منابع را محاسبه کنیم. مقدار استفاده از نیروی کار با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌گردد:

(Labor used per pound of drug 1)*(Drug 1 pounds produced)+(Labor used per pound of drug 2) *(Drug 2 pounds produced)+ …(Labor used per pound of drug 6)*(Drug 6 pounds produced)

(میزان استفاده از نیروی کار برای تولید هر پوند داروی شماره 1)* (میزان پوند تولید شده از داروی شماره 1)+(میزان استفاده از نیروی کار برای تولید هر پوند داروی شماره 2)*(میزان پوند تولید شده از داروی شماره 2)+ … (میزان استفاده از نیروی کار برای تولید هر پوند داروی شماره 6)*(میزان پوند تولید شده از داروی شماره 6)

می‌توانید میزان استفاده از نیروی کار را به روشی کسل کننده تر با فرمول: D2*D4+E2*E4+F2*F4+G2*G4+H2*H4+I2*I4 به دست آورید. میزان استفاده از مواد خام را هم می‌توانید به شکل مشابهی با فرمول D2*D5+E2*E5+F2*F5+G2*G5+H2*H5+I2*I5 به دست آورید. هرچند واردکردن این فرمول‌ها در کاربرگ برای شش محصول بسیار وقت‌گیر است. تنها تصور کنید اگر قرار باشد با شرکتی کار کنید که فرضاً 50 قلم کالا در کارخانه‌اش تولید می‌کند، این کار چقدر طول خواهد کشید. راهی آسان‌تر برای محاسبه میزان استفاده از نیروی کار و مواد خام آن است که فرمول SUMPRODUCT($D$2:$I$2,D4:I4)= را از سلول D14 به سلول D15 کپی کنید. این فرمول هم درواقع عمل محاسبه: D2*D4+E2*E4+F2*F4+G2*G4+H2*H4+I2*I4 را انجام می‌دهد (که درواقع محاسبه میزان استفاده از نیروی کار است) اما واردکردن آن بسیار ساده‌تر است. توجه کنید که در محدوده D2:I2 از علامت $ استفاده می‌کنیم تا وقتی که فرمول را وارد کردیم، همچنان ترکیب محصولات را از ردیف دو به دست آوریم. فرمول سلول D15 میزان استفاده از مواد خام را محاسبه می‌کند.

میزان سود نیز به روش مشابهی با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

(Drug 1 profit per pound)*(Drug 1 pounds produced) + (Drug 2 profit per pound)*(Drug 2 pounds produced) + …(Drug 6 profit per pound)*(Drug 6 pounds produced)

(سود حاصله از هر پوند داروی 1)*(تعداد پوند تولید شده داروی 1)+ (سود حاصله از هر پوند داروی 2)*(تعداد پوند تولید شده داروی 2)+ … (سود حاصله از هر پوند داروی 6)*(تعداد پوند تولید شده داروی 6)

میزان سود را می‌توان به‌سادگی در سلول D12 با فرمول: =SUMPRODUCT(D9:I9,$D$2:$I$2) محاسبه کرد.

حالا می‌توانید سه جزء از مدل Solver ترکیب محصولات خود را مشخص کنید:

• سلول هدف، سود افزایش‌یافته (در سلول D12 محاسبه شد)
• سلول متغیر: تعداد پوندهای تولید شده از هر محصول (در محدوده سلول‌های D2:I2 فهرست شده)
• محدودیت‌ها، مدل شما دارای محدودیت‌های زیر است:
  • از نیروی کار یا مواد خام بیش از آنچه در دسترس است استفاده نکنید، این یعنی مقادیر سلول‌های D14:D15 (یعنی منابع استفاده شده) می‌بایست کمتر یا برابر با مقادیر سلول‌های F14:F15(منابع موجود) باشد.
  • دارویی بیش از آنچه مورد تقاضا است تولید نکنید. این بدان معنی است که مقادیر سلول‌های D2:I2(پوندهای تولید شده از هر دارو) می‌بایست کمتر یا مساوی تقاضای هر دارو (فهرست شده در سلول‌های D8:I8) باشد.
  • نمی‌توانید از هر دارویی مقدار منفی تولید کنید.

به شما نشان می‌دهیم چگونه سلول هدف، سلول متغیر و محدودیت‌ها را وارد ابزار Solver کنید. آنگاه تنها چیزی که نیاز دارید آن است که روی دکمه Solver کلیک کنید تا ترکیب محصولاتی که بالابرنده سود هستند را به دست آورید.

توجه:

همان‌طور که در فصل 29: مقدمه‌ای بر بهینه‌سازی با افزونه Excel Solver توضیح دادیم، ابزار Solver را می‌توان با کلیک بر تب File و سپس گزینه Options و به دنبال آن Add-Ins نصب کرد. در بخش Manage List روی گزینه Excell Add-Ins کلیک و سپس گزینه Go را کلیک کنید. سپس در کادر محاوره‌ای Add-Ins گزینه Solver ADD-Ins را انتخاب کرده و روی Ok کلیک کنید.

برای شروع کار بر روی تب Data و پس از آن روی گروه گزینه‌های Analysis کلیک کنید، گزینه Solver را انتخاب و روی آن کلیک نمایید. حالا کادر محاوره‌ای Solver Parameters همان‌طور که در تصویر 2-30 نشان‌داده‌شده ظاهر می‌شود.

تصویر 2-30 کادر محاوره‌ای Solver Parameters

روی کادر Set Objective کلیک کرده و سپس سلول سود (سلول D12) را انتخاب می‌کنیم. حالا روی کادر By Changing Variable Cells کلیک کرده و سپس محدوده D2:I2 را که حاوی پوندهای تولید شده از هر دارو است را انتخاب می‌کنیم. کادر محاوره‌ای اکنون می‌بایست شبیه به تصویر 3-30 باشد.

تصویر 3-30 کادر محاوره‌ای Solver Parameters با سلول هدف و سلول‌های متغیر مشخص شده.

اکنون آماده‌ایم تا محدودیت‌ها را به مدل اضافه کنیم. بر روی دکمه Add کلیک کنید. حالا کادر محاوره‌ای Add Constraint را همان‌طور که در تصویر 4-30 نشان‌داده‌شده می‌بینید.

تصویر 4-30 کادر محاوره‌ای Add Constraint

برای اضافه‌کردن محدودیت‌های استفاده از منابع، روی کادر Cell Reference کلیک کنید و سپس محدوده D14:D15 را انتخاب نمایید. پس از آن از لیست وسطی نماد => را انتخاب کنید. روی کادر Constraint کلیک کرده و سپس محدوده F14:F15 را انتخاب کنید. کادر محاوره‌ای Add Constraint اکنون می‌بایست همانند تصویر 5-30 باشد.

تصویر 5-30 کادر محاوره‌ای Add Constraint که محدودیت‌های استفاده از منابع به آن اضافه شده‌اند.

اکنون اطمینان دارید که وقتی ابزار Solver مقادیر متفاوتی را در سلول‌های متغیر قرار ‌دهد، تنها ترکیب‌هایی از ارقام که معادله‌های D14<=F14(استفاده از نیروی کار، کمتر یا برابر با نیروی کار موجود) و D15<=F15(مواد خام استفاده شده کمتر و یا برابر با مواد خام در دسترس) را برآورده نمایند موردتوجه قرار خواهند گرفت. حالا بر روی گزینه Add کلیک کنید تا محدودیت‌های تقاضا را وارد کنید. پس از آن کادر محاوره‌ای Add Constraint را همان‌طور که در تصویر 6-30 نشان‌داده‌شده پر کنید: در بخش Cell Reference محدوده D2:I2 را انتخاب کرده و در کادر Constraint محدوده D8:I8 را انتخاب کنید.

تصویر 6-30 کادر محاوره‌ای Add Constraint که محدودیت‌های تقاضا در آن وارده شده‌اند.

اضافه‌کردن این محدودیت‌ها به ما اطمینان می‌دهد هنگامی که Solver ترکیبات مختلفی را در مقادیر سلول‌های متغیر امتحان می‌کند، تنها ترکیب‌های ارقامی که پارامترهای زیر را برآورده کنند موردتوجه قرار خواهند گرفت:

D2<=D8  (میزان تولید داروی شماره 1 کمتر یا مساوی میزان تقاضای داروی شماره 1)
E2<=E8   (میزان تولید داروی شماره 2 کمتر یا مساوی میزان تقاضای داروی شماره 2)
F2<=F8   (میزان تولید داروی شماره 3 کمتر یا مساوی میزان تقاضای داروی شماره 3)
G2<=G8  (میزان تولید داروی شماره 4 کمتر یا مساوی میزان تقاضای داروی شماره 4)
H2<=H8  (میزان تولید داروی شماره 5 کمتر یا مساوی میزان تقاضای داروی شماره 5)
I2<=I8  (میزان تولید داروی شماره 6 کمتر یا مساوی میزان تقاضای داروی شماره 6)

حالا در کادر محاوره‌ای Add Constraint روی دکمه Ok کلیک کنید، کادر محاوره‌ای Solver Parameters اکنون باید همانند تصویر 7-30 باشد.

تصویر 7-30 کادر محاوره‌ای Solver Parameters برای مسئله ترکیب محصولات

با انتخاب چک باکس Make Unconstrained variables Non-Negative (متغیرهای مقید نشده را غیرمنفی کن) اطمینان حاصل می‌کنیم که تمامی سلول‌های متغیر بالاجبار بزرگ‌تر و یا مساوی صفر خواهند بود.

در قدم بعدی از لیست Select A Solving Method گزینه Simplex LP را انتخاب کنید. موتور Simplex LP ازآن‌جهت انتخاب می‌شود که مسئله ترکیب محصولات، نوع خاصی از مسئله‌های Solver است که مدل خطی نامیده می‌شود. مدل Solver اساساً در شرایط زیر مدلی خطی می شود:

• وقتی که سلول هدف با اضافه‌کردن شرایط فرم (سلول متغیر)* (محدودیت) محاسبه شود.
• وقتی که هریک از محدودیت‌ها نیازمندیهای مدل خطی را برآورده کنند. این بدان معناست که هریک از محدودیت‌ها توسط اضافه‌کردن شرایط فرم (سلول متغیر)* (محدودیت) ارزشیابی شود و مجموع با یک محدودیت مورد مقایسه قرار گیرد.

چرا این مسئله Solver یک مسئله خطی است؟ چون سلول هدف ما (سود) به شکل زیر محاسبه می‌شود:

(Drug 1 profit per pound)*(Drug 1 pounds produced) + (Drug 2 profit per pound)*(Drug 2 pounds produced) + …(Drug 6 profit per pound)*(Drug 6 pounds produced)

(سود داروی شماره 1 در هر پوند)* (پوندهای تولید شده از داروی شماره 1)+ (سود داروی شماره 2 در هر پوند)* (پوندهای تولید شده از داروی شماره 2)+ … (سود داروی شماره 6 در هر پوند)* (پوندهای تولید شده از داروی شماره 6)

این محاسبه دنبال‌کننده طرحی است که بر اساس آن ارزش سلول هدف با اضافه‌کردن شرایط فرم (سلول متغیر)* (محدودیت) به دست می‌آید.

محدودیت نیروی کاری ما با مقایسه ارزش کسب شده از فرمول:

Labor used per (pound of Drug 1)*(Drug 1 pounds produced) + (Labor used per pound of Drug 2)*(Drug 2 pounds produced) + … (Labor used per pound of Drug 6)*(Drug 6 pounds produced)

(نیروی کار استفاده شده برای هر پوند از داروی شماره 1)* (تعداد پوند تولید شده از داروی شماره 1)+ (نیروی کار استفاده شده برای هر پوند از داروی شماره 2)* (تعداد پوند تولید شده از داروی شماره 2)+ … (نیروی کار استفاده شده برای هر پوند از داروی شماره 6)* (تعداد پوند تولید شده از داروی شماره 6) با نیروی کار در دسترس به دست می‌آید.

بنابراین محدودیت نیروی کار با اضافه‌کردن شرایط فرم (سلول متغیر)*(محدودیت) و مقایسه مجموع با یک محدودیت ارزشیابی می‌گردد. هر دو محدودیت نیروی کار و محدودیت مواد خام نیازمندی‌های مدل خطی را برآورده می‌کنند.

محدودیت‌های تقاضا این فرم را به خود می‌گیرند:

(تقاضای داروی شماره 1)=> (داروی شماره 1 تولید شده)

… (تقاضای داروی شماره 2)=> (داروی شماره 2 تولید شده)

(تقاضای داروی شماره 6)=> (داروی شماره 6 تولید شده)

هر محدودیت تقاضا همچنین مدل خطی نیازمندی‌ها را نیز برآورده می‌کند چراکه هریک با اضافه‌کردن یکجای شرایط فرم (سلول متغیر)* (محدودیت) و مقایسه کردن جمع آن با محدودیت ارزشیابی می‌شود.

با دانستن اینکه مدل ترکیب محصولات مدلی خطی است، چه چیزی بایست برای ما اهمیت داشته باشد؟

• اگر مدل Solver مدلی خطی بود و شما موتور Simplex LP را به‌عنوان روش حل انتخاب کردید، تضمین می‌شود که ابزار Solver راه‌حل بهینه برای مدل Solver را پیدا کند. اگر مدل Solver خطی نباشد، ابزار Solver ممکن است راه‌حل بهینه را پیدا کند و یا نکند.
• اگر مدل Solver خطی باشد و شما موتور Simplex LP را انتخاب کنید، Solver از الگوریتم بسیار کارآمدی (روش Simplex) استفاده می‌کند تا راه‌حل بهینه مدل را پیدا کند. چنانچه مدل Solver خطی بود و از موتور Simplex LP استفاده نکنید، Solver از الگوریتم بسیار ناکارآمدی (روش GRG2) استفاده می‌کند و ممکن است در یافتن راه‌حل بهینه دچار مشکل شود.

پس از آنکه روی دکمه Solver کلیک کردید، ابزار Solver راه‌حل بهینه را (اگر وجود داشته باشد) برای مدل ترکیب محصولات مشخص می‌نماید. همان‌طور که در فصل 29 گفتیم، یک راه‌حل بهینه برای مدل ترکیب محصولات ممکن است مجموعه‌ای از مقادیر سلول‌های متغیر (تعداد پوند تولیدی از هر دارو) باشد که در میان مجموعه‌ای از راه‌حل‌های عملی باعث افزایش سود می‌شود. مجدداً خاطرنشان می کنیم یک راه‌حل عملی مجموعه‌ای از مقادیر سلول‌های متغیر است که تمامی محدودیت‌ها را پاسخگو است. این مجموعه مقادیر سلول‌های متغیر که در تصویر 8-30 نشان‌داده‌شده است راه‌حلی عملی است، چرا که تمام سطوح تولید مقادیر غیرمنفی است، از سطح تقاضا بیشتر نیست و استفاده از منابع از حد موجود بالاتر نرفته است. کاربرگ Feasible Solution را در فایل Prodmix.xlsx مشاهده کنید.

تصویر 8-30 راه‌حل عملی برای مسئله ترکیب محصولات که پاسخگوی محدودیت‌های موجود است.

مقادیر سلول‌های متغیر که در تصویر 9-30 نشان‌داده‌شده است (و همچنین در کاربرگ Infeasible Solution) راه‌حلی عملی برای موارد زیر ارائه می‌دهد:

• تولید بیشتر از تقاضا برای داروی شماره 5 انجام‌گرفته باشد.
• بیشتر از نیروی کار در دسترس استفاده شده باشد.
• بیشتر از مواد خام در دسترس استفاده شده باشد.

تصویر 9-30 راه حلی عملی برای مسئله ترکیب محصولات که با محدودیت‌های تعریف شده سازگار نیست.

پس از آنکه بر روی دکمه Solver کلیک کردید، به‌سرعت راه‌حل بهینه ای که در تصویر 10-30 نشان‌داده‌شده است را تشخیص می‌دهد. می‌بایست گزینه Keep Solver Solution را انتخاب کنید تا مقادیر این راه‌حل بهینه را در کاربرگ خود حفظ کنید.

تصویر 10-30 راه‌حل بهینه برای مسئله ترکیب محصولات

شرکت دارویی موردنظر می‌تواند سود ماهیانه‌اش را به میزان 6625.20 دلار تنها با تولید 596.67 پوند از داروی شماره 4، و نه داروی دیگری افزایش دهد. نمی‌توان مشخص کرد که آیا می‌توان از طریق دیگری به سود 6625.20 دلاری رسید یا نه. تنها چیزی که می‌توان از آن اطمینان داشت آن است که با وجود محدودیت های منابع و تقاضا، راه دیگری برای کسب سودی بیشتر از 6625.20 دلاری در این ماه وجود ندارد. البته امکان دارد که بیش از یک راه‌حل بهینه در یک مدل Solver وجود داشته باشد اما تشخیص اینکه این مورد همان است چندان آسان نیست.

آیا مدل Solver همواره راه‌حلی به ما ارائه می‌دهد؟

فرض کنید می‌بایستی تقاضای هریک از محصولات را برآورده کنیم. (کاربرگ No Feasible Solution را در فایل Prodmix.xlsx مشاهده کنید) می‌توانید محدودیت‌های تقاضا را از D2:I2<=D8:I8 به D2:I2>=D8:I8 تغییر دهید. برای انجام این کار ابزار Solver را باز کنید (از تب Data در گروه گزینه‌های Analysis Group) محدودیت D2:I2<=D8:I8 را انتخاب کرده و سپس روی گزینه Change کلیک کنید. کادر محاوره‌ای Change Constraint همان‌طور که در تصویر 11-30 نشان‌داده‌شده ظاهر می‌شود.

تصویر 11-31 کادر محاوره‌ای Change Constraint

در میانه کادر علامت => را انتخاب می‌کنیم و روی دکمه Ok کلیک می‌کنیم. اکنون اطمینان حاصل کرده‌ایم که ابزار Solver تنها مقادیر سلول‌هایی که تقاضاها را برآورده می‌کنند را تغییر می‌دهد. وقتی روی دکمه Solve کلیک کنیم، پیام Solver could not find a feasible solution (Solver نمی‌تواند راه‌حلی عملی پیدا کند) را خواهیم دید. این پیام بدان معنا نیست که در مدل اشتباهی مرتکب شده‌ایم، بلکه بدان معناست که با آن منابع محدود، نمی‌توانید میزان تقاضا برای تمامی محصولات را برآورده کنید. ابزار Solver به‌سادگی به ما می‌گوید که اگر بخواهیم میزان تقاضای هریک از محصولات را برآورده کنیم، می‌بایست نیروی کار بیشتر، یا مواد خام بیشتر یا مقادیر بیشتری از هر دو مورد را اضافه کنیم.

معنای نتیجه Set Values Do Not Converge

بیایید ببینیم چنانچه اجازه دهیم هریک از محصولات مقادیر نامحدودی تقاضا داشته باشند و مقادیر منفی از هریک از داروها تولید شود چه اتفاقی رخ می‌دهد. (می‌توانید این مسئله Solver را در کاربرگ Set Values Do Not Converge در فایلی به نام Prodmix.xlsx مشاهده کنید) جهت یافتن راه‌حل بهینه برای این وضعیت، ابزارSolver را بازکرده و چک باکس Make Unconstrained Variable Non-Negative را از حالت انتخاب خارج کنید. در کادر محاوره‌ای Solver Parameters محدودیت تقاضای D2:I2<=D8:I8 را انتخاب کرده و بعد روی دکمه Delet کلیک کنید تا این محدودیت را حذف نمایید. حالا وقتی روی دکمه Solve کلیک می‌کنید، عبارت Set Values Do Not Converge ظاهر می‌شود. این پیام بدان معناست که اگر سلول هدف می‌بایست افزایش پیدا کند (همانند این مثال) راه‌حل‌هایی عملی دارای مقادیر سلول هدفی وجود خواهد داشت که به شکل خودسرانه و تصادفی ای بزرگ خواهند بود. (اگرقرار باشد سلول‌های هدف کاهش پیدا کنند پیام Set Values Do Not Converge بدان معناست که راه‌های عملی با مقادیر سلول‌های هدفی وجود خواهد داشت که به شکلی خودسرانه و تصادفی کوچک هستند.) در این وضعیت حاضر، با اجازه دادن به تولید منفی یک دارو، درواقع منابعی ایجاد می‌کنید که می‌تواند در تولید خودسرانه مقادیر بالایی از سایر داروها مورداستفاده قرار گیرد. باتوجه‌به تقاضاهای نامحدود، این مورد به ما اجازه می‌دهد تا سودی نامحدود کسب کنیم. اما در واقعیت نمی‌توان مقادیر نامحدودی از پول کسب کرد. به طور خلاصه باید گفت، اگر پیام Set Values Do Not Converge را مشاهده کردید، مدل شما مسلماً دارای خطا است.

مسئله‌های این فصل:

فرض کنید شرکت دارویی می‌تواند تا 500 ساعت نیروی کار را با یک دلار در ساعت، بیشتر از هزینه‌های حاضر نیروی کار خریداری کند. این شرکت چگونه می‌تواند سود خود را افزایش دهد.

در کارخانه تولید تراشه های کامپیوتری، چهار تکنیسین (A,B,C و D) سه محصول تولید می‌کنند (محصول 1، 2 و 3) کارخانه تولید تراشه این ماه می‌تواند 80 واحد از محصول شماره 1، 50 واحد از محصول شماره 2 و حداکثر 50 واحد از محصول شماره 3 به فروش برساند. تکنیسین A تنها می‌تواند محصول شماره 1 و 3 را تولید کند. تکنیسین B تنها می‌تواند محصولات شماره 1 و 2 را تولید کند. تکنیسین C تنها می‌تواند محصول شماره 3 را تولید کند. تکنیسین D تنها می‌تواند محصول شماره 2 را تولید کند. برای هریک از واحدهای تولید شده، محصولات این مقادیر سود را حاصل می‌کنند: محصول شماره 1 میزان 6 دلار، محصول شماره 2 میزان 7 دلار و محصول شماره 3 میزان 10 دلار. زمانی که هریک از تکنیسین‌ها برای تولید یک محصول لازم دارد (به ساعت) در جدول زیر ارائه شده است:

تکنیسین می‌تواند در طول ماه 120 ساعت کار کند. این شرکت تولیدکننده تراشه چگونه می‌تواند سود ماهیانه‌اش را افزایش دهد؟ فرض کنید تعداد واحدهای تولیدی می‌تواند عددی کسری باشد.

یک کارخانه تولید کامپیوتر، محصولاتی چون ماوس، کیبورد و دسته کنترل بازی‌های ویدئویی تولید می‌کند. سود هر واحد، میزان استفاده از نیروی کار برای هر واحد، تقاضای ماهیانه و زمان استفاده از ماشین‌های کارخانه برای تولید هر دستگاه در جدول زیر نمایش‌داده‌شده است.

هر ماه 13000 ساعت نیروی کاری و 3000 ساعت زمان استفاده از دستگاه‌های کارخانه در دسترس است. این تولیدکننده چگونه می‌تواند سود ماهیانه‌اش را از کارخانه افزایش دهد؟

مسئله داروها را با فرض اینکه حداقل تقاضا برای هر دارو 200 واحد باشد حل کنید.

جیسون دستبند، گردنبند و گوشواره‌های الماس می‌سازد. او می‌خواهد ماهیانه حداکثر 160 ساعت کار کند. او هشتصد اونس الماس دارد. سود، زمان نیروی کار و وزن الماس لازم برای تولید هریک از محصولات در جدول زیر داده شده است. اگر تقاضا برای هریک از محصولات نامحدود باشد، جیسون چگونه می‌تواند سود خود را افزایش دهد؟

در مثال مربوط به ترکیب محصولات، فرض کنید که هرگاه بیش از 400 پوند از هر محصول به فروش برساند می‌بایست برای هر پوند که بیشتر از 400 پوند فروخته شده یک دلار تخفیف بدهید. این کار چگونه پاسخ آن مسئله را تغییر می‌دهد؟

تقاضا و منابعی نامحدود را در نظر بگیرید، راه‌حلی برای مسئله ترکیب محصولات پیدا کنید که 1 میلیارد دلار کسب نماید.

تولیدکننده کفش Shoeco سه نوع کفش تولید می‌کند. تقاضا برای کفش‌ها نامحدود و 40 ساعت کار هفتگی با دستگاه و نیروی کار در دسترس است. سودی که یک جفت از کفش‌ها ارائه می‌دهد و تعداد دقیقه‌های کار با ماشین و نیروی کار در جدول زیر ارائه شده است. با فرض اینکه تعداد جفت‌های کفشی که هر هفته تولید می‌شود می‌تواند عدد صحیح باشد، کارخانه Shoeco چگونه می‌تواند سود هفتگی‌اش را افزایش دهد؟ توجه کنید که با انتخاب سلول‌های متغیر در محدودیت‌ها، می‌توانید از گزینه Int برای اطمینان حاصل کردن از اینکه سلول‌های متغیرتان دارای اعداد صحیح است استفاده کنید.

کارخانه Woodco تولیدکننده میز و صندلی است. سود واحد، میزان چوب استفاده شده (به فوت مربع) و تعداد ساعت‌های استفاده شده توسط نجارهای ماهر برای تولید میز و صندلی در جدول زیر نشان‌داده‌شده است:

می‌بایست مقادیر صحیحی از میز و صندلی ساخته شود و میزان تقاضا نامحدود است. چگونه می‌توان سود هفتگی را افزایش داد؟