آنالیز واریانس یک عاملی با اندازه گیری های مکرر

آخرین به‌روزرسانی: 24 دی 1401

در فصل دوازدهم مقاله آموزشی آمار به زبان ساده به بررسی مقايسه‌های چندگانه  پرداختیم. در این فصل به آموزش آنالیز واریانس یک عاملی با اندازه گیری های مکرر در ادامه سری مقالات آموزشی آمار به زبان ساده می پردازیم.

آنالیز واریانس یک عاملی با  اندازه گیری های مستقل فرض می کند که  نمرات در هر سطح به هم ارتباطی ندارند و آزمودنی ها در هر سطح تنها با یک نمره شرکت کرده اند. به هر حال حالات زیادی وجود دارد که ما می خواهیم همان آزمودنی ها را در همه سطوح به کار ببریم.

در این حالت چون آزمودنی ها در طول سطوح با خودشان مطابقات دارند بسیار مفید است. در یک آزمون حافظه که در آن قدرت حفظ لغات مختلف بررسی می شود ممکن است از همان شرکت کنندگان در هر سطح استفاده کند ( مادامی که اثرات انتقالی تمرین و کار کنترل شده باشند).

آنالیز واریانسی که با این نوع از داده ها سروکار داشته باشد یک طرح اندازه گیری های مکرر نامیده می شود و همانگونه که در زیر خواهیم دید محاسبات با طرح اندازه گیری های مستقل کمی متفاوت هستند ولی منطق اصلی آنالیز واریانس همان است .

استنتاج مقدار F

یک برنامه تحقیقی برای توسعه تجهیزات کامپیوتری کاربر پسند برای افراد با معلولیتهای فیزیکی ترتیب داده شده است. سه طرح صفحه کلید برای افرادی با مشکلات در حرکت دست و انگشت توسعه داده شده و نمونه های اولیه تولید شده اند. وظیفه تحقیق آن است که تصمیم بگیرد کدامیک از این نمونه ها موفق ترین است. چهار کاربر که پتانسیل استفاده از این تجهیزات در آینده را دارند موافقت کرده اند که در یک آزمون با صفحه کلیدهای جدید شرکت کنند. از هر شرکت کننده خواسته شده تا متنی را با این صفحه کلیدها تایپ کند و تعداد خطاهای آنان شمرده می شود. سه تکه متن با سختی مساوی به کار برده شده تا کاربران نتواند با تمرین روی همان متن کارآیی خود را بالا ببرند. برگزیدن متن و ترتیب استفاده از صفحه کلیدها استفاده شده بوسیله شرکت کنندگان برای در نظر گرفتن متغیرهای اختلاط گر احتمالی کنترل شده اند. نتایج آزمون در زیر نشان داده شده است.

توجه کنید که با شرکت کننده 1 که بیشترین و شرکت کننده 2 که کمترین خطا را انجام داده تا اندازه ای تغییر پذیری در آزمودنی ها وجود دارد. اما هنوز طرح اندازه گیری های مکرر آزمودنی ها در سراسر سطوح با خود مطابقت می دهد ، به طوری که حتی اگر بطور محسوسی از هم متفاوت باشند، سوال این است که آیا آنها الگوی مشابه ای را در همه سطوح دنبال می کنند یا خیر یعنی آیا یک سطح علیرغم تفاوت آنها در دقت عمومی برای همه بدترین است ؟

اگر ما یک آنالیز واریانس با اندازه گیری های مستقل روی این داده ها انجام می دادیم نمی توانست آگاهی دهنده باشد زیرا فرض بر این بود که ما هم بین گروهی و هم در درون گروهی تغییر پذیری آزمودنی ها را داریم . می توانیم این را از روشی که در طرح اندازه گیری مستقل، F را محاسبه می کنیم ببینیم.

واریانس بین گروهی

F=————————

    واریانس درون گروهی

خطای آزمایش + تفاوتهای فردی + تفاوتهای سیستماتیک

F=——————————————————

خطای آزمایش + تفاوتهای فردی

اکنون از آنجائیکه در طرح اندازه گیری های مکرر تفاوت فردی بین سطوح وجود ندارد (زیرا آزمودنی ها یکی هستند) فرمول با اندازه گیری های مکرر به شکل زیر خواهد شد.

واریانس بین گروهی

F= —————————

واریانس درون گروهی

خطای آزمایشی + تفاوتهای سیستماتیک

F=————————————————

خطای آزمایشی + تفاوتهای فردی

این معیار خوبی برای تفاوتهای سیستماتیک بین سطوح نیست زیرا F دیگر تنها به یک عامل حساس نیست بلکه به تفاوتهای فردی که اکنون فقط در مخرج معادله حضور دارد نیز حساس می باشد. یک مقدار بزرگ F به معنای یک اثر تیماری بزرگ است اما می تواند به معنای تفاوتهای کوچک فردی هم باشد. یک مقدار کوچک F ممکن است دلالت بر فقدان اثر تفاوتهای سیستماتیک نکند اما براحتی تفاوتهای فردی با اثر بزرگ را در برگرفته و محو می کند. اگر بتوانیم از تفاوتهای فردی در واریانس درون گروهی (بخش پائینی فرمول) رهایی یابیم، می توانیم کار را با یک فرمول عالی برای طرح اندازه گیری مکرر به پایان برسانیم زیرا به تفاوتهای سیستماتیک بین سطوح بسیار حساس است.

خطای آزمایشی + تفاوتهای سیستماتک

F=————————————-

خطای آزمایشی

برای این کار باید راهی برای حذف تفاوتهای فردی از واریانس درون گروهی بیابیم تا بتوانیم مقدار متناسب F را محاسبه کنیم.

واریانس بین حالات

F=————————————————————–

تفاوتهای فردی – واریانس بین گروهی

حذف تفاوتهای فردی

وقتی به داده های صفحه کلید نظر بیفکنیم خواهیم دید که علیرغم تفاوتهای فردی یک طرح کلی در همه شرکت کنندگان وجود دارد  که با صفحه کلید 1 کمترین خطا ، با صفحه کلید 2 خطای بیشتری و با صفحه کلید 3 بیشترین خطا را تولید کرده است. بنابراین با وجود سطح عملکرد متفاوت سطوح، یک طرح در همه سطوح برای کل شرکت کنندگان به صورت مشابه وجود دارد. این قوت طرح مورد نظر یعنی تفاوتهای سیستماتیک بین سطوح است که ما می خواهیم اندازه گیری کنیم.

کلید استخراج تفاوت آزمودنی ها در مجموع مربعات خوابیده است. پیش از این (فصل 10 را ببینید) ما فقط مجموع مربعات را برای سطوح محاسبه کردیم یعنی بین گروهی و درون گروهی . جدول زیر میانگین سطوح را نشان داده بنابراین می توانیم این مجموع مربعات را محاسبه کنیم.

از آنجائیکه در هر سطح چهار شرکت کننده داریم مجموع مربعات بین گروهی برابر می شود با : 32=8*4 .

در محاسبات مجموع مربعات در بالا روی سطوح تمرکزکردیم که ستونهای جدول بالا بودند و تغییرات درون ستونها و تغییرات بین ستونها در نمرات را محاسبه کردیم.  همین منطق می تواند برای ردیف ها محاسبه شود جائیکه مجموع مربعات را می توان درون و میان ردیف ها محاسبه نمود. توجه کنید که ردیف ها آزمودنی ها هستند. درون ردیف ها تغییر پذیری بدلیل تفاوتها در آزمودنی ها نیست زیرا در یک ردیف آزمودنی همیشه یکی است. اما به هر حال تغییرات بین ردیف ها تغییرات بین آزمودنی ها است. این معیاری از تفاوتهای فردی بین شرکت کنندگان است یعنی چیزی که دقیقا ما تلاش داشتیم بیابیم. مجموع مربعات در هر آزمودنی به شرح زیر است:

از آنجائیکه سه سطح برای هر آزمودنی داریم مجموع مربعات بین آزمودنی ها برابر است با:42=14*3 .

توجه کنید که اگرچه ما مجموع مربعات را بدست آوردیم اما جمع کل همیشه 80 است. ما به مجموع مربعات درون آزمودنی ها در آنالیز واریانس علاقه ای نداریم اما اکنون یک معیار برای تفاوتهای فردی داریم.(مجموع مربعات بین آزمودنی ها که مساوی 42 است). اکنون می توانیم تفاوتهای فردی را از مجموع مربعات بین گروهی حذف کنیم . باقیمانده ، یعنی خطای مجموع مربعات عبارتست از 6=42-48

از آنجائیکه ما قادریم تغییر پذیری بین آزمودنی ها را از تغییر پذیری درون گروهی بدست بیاوریم دیگر واریانس بین گروهی را در محاسبه F به کار نمی بریم بلکه یک عبارت جدید ، کوچکتر ، یعنی از جمله خطا استفاده می کنیم. بنابراین در طرح اندازه گیری مکرر ، شانس بیشتری برای یافتن یک اثر معنادار داریم زیرا ما به طور کامل تفاوتهای فردی را از محاسبات حذف کرده ایم.

جدول خلاصه آنالیز واریانس

جدول خلاصه برای آنالیز واریانس با  اندازه گیری های مکرر در مقایسه با جدول خلاصه آنالیز واریانس با اندازه گیری های مستقل دو ردیف اضافه تر دارد زیرا ما می بایستی مجموع مربعات درون گروهی را به مجموع مربعات بین آزمودنی ها و مجموع مربعات خطا تفکیک کنیم .

جدول خلاصه آنالیز واریانس

یک مثال کاربردی

مثال صفحه کلیدها مقداری داده های توصیفی برای محاسبه آنالیز واریانس با  اندازه گیری های مکرر در اختیار ما می گذارد. ابتدا مجموع کل را برای به کارگیری در فرمول هایمان محاسبه می کنیم.

همچنین به موارد زیر نیاز داریم :

تعداد آزمودنی ها در هر سطح ، 4=n

تعداد سطوح ، 3=k

تعداد کل نمرات ، 12= N

توجه کنید که بیشترین تغییرپذیری نمرات درون سطوح بدلیل تفاوتهای فردی اتفاق می افتد. در نتیجه خطای مجموع مربعات ، بسیار کوچکتر از مجموع مربعات درون گروهی است.

اکنون می توانیم میانگین مربعات متناسب و نسبت واریانس را بدست آوریم:

از جدول توزیع F ، جدول A.3 ضمیمه ، در سطح 0.01=p داریم  10.92 =(6،2)F

از آنجائیکه مقدار محاسبه شده F ما بزرگتر از مقدار جدول است می توانیم فرض صفر را در سطح  0.01=p رد کنیم . و می توانیم نتیجه بگیریم تفاوت معناداری بین صفحه کلیدها در تعداد خطاهای تولید شده وجود دارد.

(این مثال خاص را ما عمدا انتخاب کردیم تا محاسبات به آسانی با اعداد صحیح صورت پذیرد. این اعداد نمونه ای نیست که ما معمولا بدست می آوریم اما روش کار آنالیز واریانس با اندازه گیری های مکرر را بوضوح نشان می دهد. برای دریافتن می توانیم توجه کنیم که اگر داده ها از 12 فرد به جای 4 نفر در هر حالت جمع آوری می شد چه اتفاقی می افتاد. ما می بایستی یک آنالیز واریانس با یک عامل اندازه گیری شده مستقل انجام داده و میانگین مربعات درون گروهی را به عنوان واریانس خطا به کار می بردیم. از جدول بالا می توانیم ببینیم که مقدار 48 تقسیم بر 9 یعنی 5.33 است. نتیجه این کار یک F با مقدار 3 (5.33/16) خواهد بود که دیگر معنادار نیست زیرا مقدار بحرانیF در سطح 0.05=p برابر 4.26=(9،2)F است . و اثر صفحه کلیدهای متفاوت در تغییرپذیری میان همه آزمودنی ها گم خواهد شد.)

مقایسات چندگانه

می توان یک آزمن پست هاک بر روی یک طرح آنالیز واریانس با اندازه گیری های تکرار شده برای یافتن تفاوتهای معنادار انجام داد. تنها تفاوت از طرحی با اندازه گیری های مستقل برگزیدن جمله ی خطای مناسب در مقایسه است.

تفاوت با مقدار4 بین میانگین صفحه کلید 1 و 3 در سطح 0.05= p معنادار است زیرا بزرگتر از 2.17 است. تفاوتهای دیگر در میانگین ها معنادار نیستند. اندازه تفاوت 2 بین میانگین های صفحه کلید 1و 2 و همچنین بین صفحه کلیدهای 2و3 ممکن است اگراز شرکت کنندگان بیشتری آزمون گرفته شود معنادار باشند ، بنابراین جستجوی بیشتر این تفاوتهای غیر معنا دار ارزش آنرا دارد.

توجه کنید که بازه اطمینان X1-X2 و X2-X3 شامل صفر می شوند لذا این نشان می دهد که ما چرا نمی توانیم یک تفاوت واقعی را در میانگین ها برای این سطوح ادعا کنیم. به هر حال مقدار صفر به یک انتهای بازه اطمینان نزدیک است بعلاوه با تعداد کم شرکت کنندگان (از آنجائیکه مثال ما برای توضیح است) توان کمی در آزمون ما وجود دارد. یک آزمون قوی تر با تعداد نمونه های بزرگتری ممکن است اثر بزرگتری را نشان دهند.

جزئیات محاسبه آنالیز واریانس یک عاملی با  اندازه گیری های مکرر با استفاده بسته نرم افزاری SPSS را می توان در فصل 10 کتاب Hinton et al. (2004) یافت.

مترجمین: دکتر هدی کامرانی فر – حسن اسکندری نیا